2022/07 作者：ihunter 0 次 0
在数量关系题型中,常考的有两种题型,分别是二集合容斥原理和三集合容斥原理。解决容斥原理常用的方法有公式法和画图法,其中公式法解决容斥原理是非常快速的解题方法,只要学会公式,理解并能够熟练应用公式,那么容斥原理是考场中比较容易拿分的一种题型。
两集合容斥原理公式为:满足条件1的个数+满足条件2的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数;
三集合容斥原理分成标准型和非标准型两种。
三集合标准型容斥原理公式为:满足条件1的个数+满足条件2的个数+满足条件3的个数-满足两个条件的个数+三者都满足的个数=总个数-三者都不满足的个数。
三集合非标准型容斥原理公式为:满足条件1的个数+满足条件2的个数+满足条件3的个数-“只”满足两个条件的个数-2×三者都满足的个数=总个数-三者都不满足的个数。
【例1】学校有300个学生选择参加地理兴趣小组,生物兴趣小组或者两个小组同时参加。如果80%学生参加地理兴趣小组,50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少?
A.240
B.150
C.90
D.60
答案:C
【解析】第一步,本题考查容斥问题,属于二集合容斥类,用公式法解题。
第二步,共两个兴趣小组,其中80%的学生参加地理兴趣小组、50%的学生参加生物兴趣小组,根据两集合容斥原理公式:满足条件1的个数+满足条件2的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数,设同时参加两个兴趣小组的学生占比为x,则有80%+50%-x=100%-0,解得x=30%,那么同时参加两个兴趣小组的共有300×30%=90(人)。因此,选择C选项。
【例2】学某单位共有240名员工,其中订阅A期刊的有125人,订阅B期刊的有126人,订阅C期刊的有135人,订阅A、B期刊的有57人,订阅A、C期刊的有73人,订阅3种期刊的有31人,此外,还有17人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C期刊的有多少人?
A.57
B.64
C.69
D.78
答案:B
【解析】第一步,本题考查容斥原理。
第二步,题目中满足两个条件的集合人数是分别给出的,应用三集合标准型容斥原理公式解题。设订阅B、C期刊的有x人,可列方程:125+126+135-57-73-x+31=240-17,解得x=64(也可利用尾数法求得尾数为4)。因此,选择B选项。
【例3】某班参加学科竞赛人数40人,其中参加数学竞赛的有22人,参加物理竞赛的有27人,参加化学竞赛的有25人,只参加两科竞赛的有24人,参加三科竞赛的有多少人?
A.2
B.3
C.5
D.7
答案:C
【解析】第一步,本题考查容斥问题,属于三集合容斥类,用公式法解题。
第二步,设参加三科竞赛的有x人,根据三集合非标准型容斥原理公式可列方程:40-0=22+27+25-24-2x,解得x=5。因此,选择C选项。
