什么样的方程是不定方程?即未知数的个数多于方程个数的方程,举个简单例子:x+2y=5,这就是一个不定方程。那对于不定方程怎么求解呢?主要有两种方法:1.代入排除,2.数字特性,当然数字特性还包括奇偶特性、因子特性等等。

 【例1】集贸市场销售苹果5元/个和火龙果3元/个,花光61元最多可购买这两种水果共多少个?

 A.13

 B.16

 C.18

 D.19

 答案:D

 【解析】第一步,本题考查不定方程问题,用代入排除法解题。

 第二步,设购买苹果x个,购买火龙果y个。根据花光61元,可列不定方程:5x+3y=61,要使购买的这两种水果最多,则应该买尽量买便宜的,即使y值尽可能大,那么x值尽可能小,若x=1,y不是整数,排除,若x=2,则y=17,此时共买水果2+17=19(个)。

 因此,选择D选项。

 【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师,培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领,刚好能够分完,且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少,培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,但每名教师所带的学生数量不变,那么目前培训中心还剩下学员多少人?

 A.36

 B.37

 C.39

 D.41

 答案:D

 【解析】第一步,本题考查不定方程问题,用数字特性法解题。

 第二步,设每名钢琴、拉丁舞老师分别带领学员x、y人,由共76人,可列不定方程5x+6y=76。根据奇偶特性,其中6y、76为偶数,则5x为偶数,故x既为偶数也为质数,2是唯一的偶质数,所以x=2,y=11,即每名钢琴老师带2名学员,每名拉丁舞老师带11名学员。

 第三步,由所带学生数不变可得,剩余学员有4×2+3×11=41(人)。

 因此,选择D选项。

 【例3】某会务组租了20多辆车将2220名参会者从酒店接到活动现场。大车每次能送50人,小车每次能送36人,所有车辆送2趟,且所有车辆均满员,正好送完,则大车比小车(    )。

 A.多5辆

 B.多2辆

 C.少2辆

 D.少5辆

 答案:A

 【解析】第一步,本题考查不定方程问题,用数字特性法解题。

 第二步,根据20多辆车将2220人满载2趟正好送完,设大车有x辆,小车有y辆,由题意有2x×50+2y×36=2220,将此不定方程化简得:25x+18y=555,根据因子特性,18y和555都能被5整除,可知y是5的整数倍。当y=5时,x不是正整数,排除;y=10时,x=15,且符合车辆总数20多辆的条件,所以大车比小车多15-10=5辆。

 因此,选择A选项。

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