为大家具体讲解如何解决几何中的最短路径问题。

 最短路径问题考查形式通常为求点之间的最短距离,核心解题方法为平面上两点之间,线段最短。在考试中最短路径问题主要分为两大类,平面几何最短路径与立体几何最短路径。虽然题目有多种问法,但万变不离其宗,只要知识点掌握牢固、能够融会贯通,无论如何创新如何结合,我们都可以熟练解决。

 平面几何最短路径问题

 1.两点异侧

 题型特征:求在直线异侧的两点之间的最短距离,或在直线异侧的两点到第三点的最短距离之和

 解题方法:两点之间,线段最短,三点共线时距离之和最短

 例1.【2011联考】火车站A和B与初始发车站C的直线距离都等于akm,站点A在发车站C的北偏东20度,站点B在发车站C的南偏东40度,若在站点A和站点B之间架设火车轨道,则最短的距离为:

 A. akm

 B. 3akm

 C. 2akm

 D.akm

 【解题思路】如图所示,根据题意中A在C点北偏东20度和B在C点南偏东40度可知,A、B、C三点构成顶角为120度的等腰三角形,且AB为底边。过点C做AB的中垂线,交AB于点D。根据勾股定理可得,CD=a,AD=a,则AB=2AD=a,正确答案为D。

 【点评】公务员考试中,三角形求边长常用勾股定理和相似三角形。因此建议各位考生将常见三角形边长比例熟练记忆,如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。本题若变形为C火车站正东建立新火车站D,求AB两点到D距离之和最短,因三点共线时距离之和最短,直接连接AB即为最短距离和。

 2.两点同侧

 题型特征:求在直线同侧的两点到第三点的最短距离之和

 解题方法:将其中一点镜像对称,使三点共线

 例1.【2019浙江】 A、B点和墙的位置如图所示。现从A点出发以5米/秒的速度跑向墙,接触到墙后再跑到B点。问最少要多少秒到达B点?

 A. 30

 B. 34

 C. 38

 D. 42

 【解题思路】要用最短时间到达B点,在速度一定的情况下,需从A接触到墙后再跑到B点所走的路程最短。如图,由于A和B在墙的同侧,可考虑做其中一个点关于墙的对称点,该对称点与另一个点的连线即为最短路程。假设做A点的对称点C,最短距离为BC。CD=90米,BD=30+45+45=120米,最短距离BC==150米,则t==30秒,正确答案为A。

 【点评】先判断为同侧问题,需要作其中一点的对称点,再连接另外一点,用勾股定理求解。两点同侧时,对称哪一个点都可以,但是一般为了计算方便,建议对称短的那一个。

 例2.【2017联考】如下图所示,某条河流一侧有A.、B.两家工厂,与河岸的距离分别为4km和5km,且A.与B.的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水,需要在距离河岸1km处建造一个污水处理厂,分别铺设排污管道连接A.、B.两家工厂。假定河岸是一条直线,则排污管道总长最短是:

 A. 12km

 B. 13km

 C. 14km

 D. 15km

 【解题思路】如下图所示,过污水处理厂做河岸的平行线HC,D为A关于HC的对称点,则最短距离为DB,由题污水厂离河1km可得A点距离到HC为HA=HD=3km,B点距离HC等于EH=4km,则DE=3+4=7km。

,所以

,正确答案为B。

 【点评】本题中题目AB为河流一侧,因此为两点同侧。提醒大家注意,若以河为对称轴,求的点为交点,此时污水处理厂建在河里,因此此题的对称轴是第三个点所在的水平线,过C作一条沿河岸的平行线,轴距离河岸为1km。计算时若忽略了这一点,将无法求解正确答案。

 立体几何最短路径问题

 题型特征:求立体图形中两点的最短距离

 解题方法:将立体图形展开放在同一平面,连线计算

 例1.【2019河北】长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1上,有一个蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到C_1获取食物,其路程最小值是多少cm?

 A. 13

 B.

 C.

 D. 17

 由题干蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到求最短,画图可知,在长方体中A和不在同一平面,要求最短距离先要把A和C_1放在同一平面内,则把面翻折,形成面,再连接,根据两点之间直线最短求解。如下图:

是直角三角形ABC_1的斜边,要让斜边最短,则两直角边的平方和要尽可能小。当AB=12,

=4+3=7时,两直角边的平方和最小,最短==,正确答案为B。

 【点评】长方体最短路径问题可直接运用结论,长方体中相对的两个顶点沿表面走的最短距离为:

;最短路径数为2条,因为长方体存在对立面,每一条路径都有一条与之相对的路径,因此有2条。

 例2. 【2013北京】A和B为正方体两个相对的顶点,一个点从A出发沿正方体表面以最短路径移动到B,则其可选择的路线有几条:

 A. 2

 B. 3

 C. 6

 D. 12

 【解题思路】正方体有3组对立面,如图可知每一条路线在对立面上都有一条与之对应的路线,因此每组对立面有2条路线,3组对立面共6条路线,正确答案为C。

 【点评】若本题为求A到B最短距离,则可将正方体展开,将AB放在同一平面内。连接AB后,AB==边长。

 正方体最短路径问题也有有对应结论,小编建议可以直接用结论做题,正方体中相对的两个顶点最短距离为

边长,最短路径数为6条。

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